درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

در جدول‌های زیر مثال‌های بالا و مواردی دیگر به کمک جدول ارائه شده‌اند. جاهای خالی را پر کنید. جدول آخر را به سلیقهٔ خودتان تکمیل کنید.
با توجه به جدول مشخص است که در یک زمان معین فقط یک دما را می‌توان به آن نسبت داد.
دربارهٔ بقیهٔ جدول‌ها مشابه این عبارت را بنویسید.
به یک ساعت معین فقط یک دما را می‌توان نسبت داد؛ یعنی یک ساعت مشخص دو دمای متفاوت ندارد.

	12	11	10	9	8	ساعت
	18	17	17	16	15	دما

به یک کالای معین تنها یک قیمت می‌توان نسبت داد.

پرگار	خط‌ کش	مداد	دفتر	خودکار	کالا
4000	1500	1000	3000	1500	قیمت (تومان)

به یک درس معین تنها یک قیمت می‌توان نسبت داد.

دینی	ادبیات	شیمی	فیزیک	ریاضی	درس
15	18	17	16	18	نمره

به یک درس معین تنها یک قیمت می‌توان نسبت داد.
یک شخص معین دو روز تولد متفاوت ندارد.

عزیزی	رستگار	کشاورز	احسانی	امیدی	فرد
یکشنبه	پنجشنبه	شنبه	دوشنبه	شنبه	روز تولد

به یک شخص معین فقط یک وزن می‌توان نسبت داد.

سعید	محمود	یوسف	یاس	علی	افراد
80	74	21	20	شنبه	وزن

1- مجموعهٔ $A$ شامل سه دانش آموز به نام‌های محمد، حسین و امید و مجموعهٔ $B$ شامل دو رشتهٔ ورزشی است که دانش آموزان می‌توانند انتخاب کنند. کدام یک از نمودارهای پیکانی داده شده تابع است و کدام یک تابع نیست؟

2- از مجموعهٔ $A$ به مجموعهٔ $B$ نمودار پیکانی را طوری رسم کنید که یک تابع را نمایش دهد. از مجموعهٔ $X$ به مجموعهٔ $Y$ این کار را به گونه‌ای انجام دهید که حاصل یک تابع نباشد.
پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.
می‌بینیم که برای تابع بودن رابطه‌ای از $A$ به $B$ از تمام عضوهای مجموعه‌ی $A$ دقیقاً یک پیکان خارج شده است و برای تابع نبودن رابطه‌ای از $X$ به $Y$ از یک عضو در مجموعه‌ی $X$ یا دو پیکان خارج شده یا پیکانی خارج نشده است.

3- الف) آیا رابطه‌ای که به افراد سن آنها را نسبت می‌دهد، یک تابع است؟ رابطه‌ای که به افراد وزن آنها را نسبت می‌دهد، چطور؟
بله، تابع است.
ب) آیا رابطه‌ای که به افراد غذای مورد علاقهٔ آنها را نسبت می‌دهد، یک تابع است؟ توضیح دهید.
بله، تابع است.
4- کدام یک از نمودارهای پیکانی زیر یک تابع است؟

نمایش تابع به صورت زوج‌های مرتب و نمودار مختصاتی

نمودار زیر، دمای هوا را در چهار ساعت متفاوت در اردبیل نشان می‌دهد.

رابطهٔ بین زمان و دما را به صورت نمودار پیکانی نمایش دهید و معلوم کنید که آیا این رابطه یک تابع است؟ جدول را هم کامل کنید.
اگر در نمودار بالا محور افقی را محور طول و محور عمودی را محور عرض در نظر بگیریم، مختصات هر یک از نقاط داده شده را می‌توان با یک «زوج» از اعداد به صورت زیر نمایش داد:

$(4,5),(5,4),(6,3),(7,3)$

ترتیب نوشتن اعداد در هر زوج مهم است. مثلاً زوج های $(4,5)$ و $(5,4)$ برابر نیستند و دو نقطهٔ متفاوت در نمودار را نشان می‌دهند. به همین دلیل به هر یک از زوج‌های بالا «زوج مرتب» می‌گوییم.
اگر همهٔ زوج‌های مرتب بالا را در مجموعه‌ای قرار دهیم، یک نمایش دیگر برای رابطهٔ ارائه شده بین زمان و دما به دست می‌آید که به آن نمایش زوج مرتبی رابطه داده شده می‌گویند. برای نام گذاری این مجموعهٔ جدید از حروفی مانند $f$ و $g$ استفاده می‌کنیم.

$f=\left\{ (4,5),(5,4),(6,3),(7,3) \right\}$

در هر زوج مرتب عضو اول را «مؤلفهٔ اول» وعضو دوم را «مؤلفهٔ دوم» می‌نامیم. به طور مثال در زوج مرتب (3و6)، مؤلفهٔ اول 6 ومؤلفهٔ دوم ٣ است. مجموعهٔ $f$ یک تابع است. برای ساعت‌های دیگر موجود در نمودار دمایی را به زمان نسبت دهید و نمودار را به صورت زوج مرتب نمایش دهید.

1- نام شهرهای تهران، مشهد، اصفهان، شیراز، تبریز و اهواز در یک سطر جدول زیر نوشته شده‌اند. در سطر دیگر، جمعیت آن شهرها را به طور تقریبی بنویسید (جمعیت دقیق لازم نیست).

کرمان	اهواز	تبریز	شیراز	اصفهان	مشهد	تهران	شهر
$1000000$	$1000000$	$15000000$	$2000000$	$2500000$	$3000000$	$12000000$	جمعیت

رابطهٔ بالا را به صورت پیکانی و زوج مرتب نمایش دهید. آیا این رابطه یک تابع است؟

{(1000000، کرمان)، (1000000، اهواز)، (1500000، تبریز)، (2000000، شیراز)، (2500000، اصفهان)، (3000000، مشهد)، (12000000، تهران)}=f

بله، تابع است، زیرا به هر شهر تنها یک عدد به عنوان جمعیت نظیر شده است.
2- در هر سطر جدول زیر نمایش‌های مختلف یک رابطه داده شده است. جاهای خالی جدول را کامل و معلوم کنید که آیا این رابطه یک تابع است؟ ردیف آخر را به دلخواه خودتان کامل کنید.

وضعیت	جدول یا نمودار	نمودار پیکانی	مجموعه زوج‌های مرتب	توصیف رابطه
تابع نیست.			$\begin{align}   & \left\{ (1,1),(2,1),(2,2),(3,1) \right. \\   & \left. ,(3,1),(3,3) \right\} \\  \end{align}$	به هر عدد طبیعی کمتر از 4 مقسوم علیه‌های آن را نسبت می‌دهد.
تابع است.			$\left\{ (2,4),(3,9),(4,16) \right\}$	به هر عدد طبیعی بین 1 تا 5 مجذور آن را نسبت می‌دهد.
تابع نیست.			$\left\{ (4,2),(4,-2),(7,\sqrt{7}),(7,-\sqrt{7}) \right\}$	به اعداد 4 و 7 ریشه‌های دوم آنها را نسبت می‌دهد.
تابع است.			$\left\{ (-1,-2),(0,0),(1,2) \right\}$	به هر عدد دو برابر آن را نسبت می‌دهد.
تابع است.			$\left\{ (1,1),(2,\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},-2) \right\}$	به هر عدد معکوس آن را نسبت می‌دهد.

3- الف) کدام یک از رابطه‌های زیر تابع است؟ چرا؟

$g=\left\{ (1,5),(2,9),(2,5),(3,10) \right\}$

$f=\left\{ (1,5),(2,9),(3,10) \right\}$

رابطه $g$ تابع نیست، چون به عضو 2، دو عضوِ متمایز 5 و 9 نسبت داده شده است.
رابطه‌ی $f$ تابع است، چون هیچ دو زوج مرتب متمایزی دارای مؤلفه‌ی اول برابر نیستند.
ب) با تکمیل جملهٔ زیر برای تشخیص تابع بودن یک رابطه، هنگامی که رابطه به صورت زوج مرتبی ارائه می‌شود، معیاری به دست آورید:
اگر یک رابطه به صورت مجموعه زوج‌های مرتب داده شده باشد، هنگامی این رابطه یک تابع است که هیچ دو زوج مرتب متمایزی در آن دارای مؤلفه‌های اول برابر نباشند. 

کدام یک از روابط زیر یک تابع را معلوم می‌کند؟ توضیح دهید.

الف) رابطه‌‌ای که به ضلع یک مربع، محیط مربع را نسبت می‌دهد.
تابع است. چون یک مربع با یک ضلع معین تنها یک محیط می‌تواند داشته باشد.
ب) رابطه‌ای که به هر فرد، دمای بدن او را در یک زمان معین نسبت می‌دهد.
تابع است. زیرا بدن هر فرد در یک زمان معین تنها یک دما دارد.
ج) رابطه‌ای که به هر فرد، گروه خونی او را نسبت می‌دهد.
تابع است. زیرا هر فرد تنها یک گروه خونی دارد.
د) رابطه‌ای که به هر دانش آموز، دوستان او را نسبت می‌دهد.
تابع نیست. زیرا یک فرد ممکن است با چند نفر دوست باشد، بنابراین به هر فرد می‌توان چند نفر را نسبت داد.
ه) رابطه‌ای که به هر عدد، ریشه‌های دوم آن عدد را نسبت می‌دهد.
تابع نیست. زیرا هر عدد مثبت دارای دو ریشه دوم است و اعداد منفی ریشه‌ی دوم ندارند.
و) رابطه‌ای که به هر عدد، ریشهٔ سوم آن را نسبت می‌دهد.
تابع است زیرا هر عدد تنها یک ریشه‌ی سوم دارد.
2- مجموعه‌های $A=\left\{ a,b,c \right\}$ و $B=\left\{ 1,2 \right\}$ داده شده‌اند.
الف) به کمک نمودار پیکانی دو رابطه از $A$ به $B$ ارائه کنید که تابع باشند.

ب) دو رابطه ارائه کنید که تابع نباشند.

ج) چهار رابطهٔ به دست آمده را به کمک زوج‌های مرتب و نمودار نمایش دهید.

$f=\left\{ (a,1),(b,2),(c,1) \right\}$

$g=\left\{ (a,2),(b,2),(c,1) \right\}$

$R=\left\{ (a,1),(a,2),(b,2),(c,2) \right\}$

$S=\left\{ (a,1),(b,1),(b,2),(c,2) \right\}$

کدام یک از مجموعه‌های زیر یک تابع است؟

تابع نیست.    $f=\left\{ (2,1),(3,-5),(3,7) \right\}$

تابع است.   $g=\left\{ (0,1),(\frac{3}{5},1),(-5,1),(8,1) \right\}$

   تابع است.   $h=\left\{ (2,3),(3,2),(1,1) \right\}$ 

    تابع است.   $k=\left\{ (2,5) \right\}$

  تابع است.   $r=\left\{ (2,0),(-7,0) \right\}$

  تابع است.   $l=\left\{ (1,2),(2,4),(3,6),... \right\}$

4- $A$ و $B$ مجموعه‌هایی غیرعددی‌اند، در شکل زیر در $A$ و $B$ اعضایی دلخواه بگذارید و یک تابع از  $A$ و $B$ به کمک نمودار پیکانی ارائه کنید. سعی کنید لااقل سه تابع مختلف بنویسید. پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.